Математика для рисования кругов
Круги являются основной формой визуализации данных, но для их рисования требуются некоторые базовые математические знания. Вот ваш гид.
Криволинейные линии всегда восхищали людей. Мы находим их повсюду вокруг нас: планеты, орбиты, формы галактик, атомы. От древней истории до наших дней мы включаем круги не только в визуализацию данных, но и в нашу повседневную жизнь: в архитектуре, машиностроении, дизайне интерьеров, спорте, рекламе на рекламных щитах или даже в качестве подставок для пива. Исторически круг был хронометристом. Форма круга считается идеальной формой, символом божественной симметрии и баланса в природе. Сегодня круг символизирует гармонию, единство и равенство.
Как одна из самых основных форм на Земле - квадрат, круг и треугольник - круг был центром интереса многих дизайнеров, иллюстраторов и художников, поскольку эта форма поддерживает структуры, которые являются как синтетическими, так и естественными. Итальянский художник Бруно Мунари исследовал визуальную историю всех трех, но круг занимал особое место.
Мунари переходит к кругу, отмечая, что следует сразу же различать квадрат и круг, поскольку квадрат относится к человеку, а круг - к божественному. «В древнем тексте говорится, что Бог - это круг, центр которого находится повсюду, а окружность - нигде, - объясняет Мунари. Среди его многочисленных примеров - ореол, изображенный вокруг католических святых и мусульманский талисман, чтобы изобразить отчетливое отношение кругов к божественному, которое, по-видимому, даже пересекает религиозные границы.
Слева - X Hour, серия кинетических арт-объектов, созданных Мунари в 1945 году. Пятьдесят пронумерованных пластин были изготовлены Данезе из Милана. Полудиски в центре каждого объекта прозрачны и вращаются по часовой стрелке, создавая геометрические фигуры, которые постоянно меняются.
В Книге кругов: Визуализация сфер знаний Мануэль Лима дает исчерпывающее представление об истории кругового информационного дизайна и дает систематизацию разновидности круговых диаграмм визуализации данных, которые сегодня используют дизайнеры.
Тем не менее, рисование кругов требует некоторых базовых математических знаний. Так что давайте перейдем к этому!
Круг
В основе современной математики Евклид определил круг как плоскую фигуру, содержащуюся одной линией, так что все прямые, падающие на нее из одной точки среди лежащих внутри фигуры, равны друг другу.
В более общем смысле круг - это набор точек на плоскости, которые равноудалены от данной точки O. Расстояние r от центра называется радиусом, а точка o называется центром. Двойной радиус известен как диаметр d = 2r. Угол, под которым окружность выходит из центра, составляет полный угол, равный 360 ° или 2π радианам.
Теперь предположим, что у нас есть системная ось (X, Y), и нам нужно найти (x (k), y (k)) для точки K, расположенной на круг C с радиусом r.
При визуализации некоторых данных, например круговых диаграмм, важно найти точку K. Теорема Пифагора и тригонометрия особенно полезны.
Теорема Пифагора является фундаментальной и определяет отношения между тремя сторонами прямоугольного треугольника. Действительно, в нем говорится, что площадь квадрата гипотенузы равна сумме площадей квадратов двух других сторон треугольника (см. Уравнение ниже). Гипотенуза соответствует самой длинной стороне прямоугольного треугольника, противоположной прямому углу.
Угол θ уравнения тригонометрии, образованный прямой линией, проведенной от центра O до точки K и оси x- или ось Y-, помогает нам ориентироваться и охарактеризовать евклидово пространство, в котором находится этот круг.
Имея эти уравнения и теорему, мы можем перейти к доказательству. Мы можем заменить то, что мы знаем, в приведенные выше уравнения. То есть радиус r и угол θ для нахождения как x (K), так и y (K). Мы можем предположить, что угол θ составляет от 1 до 360 °, и рассчитать для единичной окружности (окружности с радиусом 1).
Найдя (x (K), y (K)), на окружности C с радиусом r мы можем найти бесконечное множество k точек на окружности.
Когда мы проводим линию между ними, мы получаем полный круг!
Большой! Но как мы можем нарисовать круг, используя часто используемые инструменты визуализации данных?
Что ж, большинство инструментов обработки данных используют проверенные выше уравнения для рисования кругов. Ниже я подробно описываю, как это делается с помощью двух разных инструментов: Tableau, D3.
Tableau
Во-первых, Tableau позволяет довольно легко рисовать круги с помощью метода создания фиктивных точек данных с помощью процесса уплотнения данных. В многочисленных блогах сообщества Tableau объясняется, что этот метод создает дополнительные записи для недостающих данных среди k точек.
Теперь, когда нам нужно нарисовать полукруг, в Tableau все, что нам нужно сделать, это вычислить набор пар {(x (k), y (k))} примерно для 90 точки и используйте линейную диаграмму, чтобы нарисовать ее. Ниже я представляю реальный пример, основанный на Таблице и уплотнении данных, где пары (x, y) вычисляются для круга с радиусом 1.
D3
Во-вторых, рисование кругов в D3 такое же, но используется другой синтаксис. D3 использует элемент круга SVG, который представляет собой форму, построенную с использованием четырех обязательных параметров: (cx, cy, r), которые представляют собой координату центра круга по оси X, его ось Y и радиус окружности r и элемент ‹ path › для их рисования.
Элемент ‹path› в SVG - один из самых мощных элементов. Он используется не только для рисования кругов, но также для рисования линий, кривых, дуг и многого другого. Элемент контура имеет только один параметр d и представляет собой список команд для рисования фигур. Действительно, существует много типов изогнутых линий, таких как: кривые Безье, гладкие формы, квадратичные кривые, которые являются более простой формой кривых Безье, и дуги, которые представляют собой части окружностей или эллипсов. D3 быстро справится со всеми этими задачами, если у вас есть четко сформулированная задача.
Как видите, рисование кругов в Табло или D3 совсем несложно!
Помимо рисования круга, важно отметить, что существует множество взаимосвязей между кругами и другими математическими понятиями в геометрии. Ниже приведены примеры, начиная от кривых Безье и эллипсов до константы Эйлера e.
Метод рисования изогнутых форм был изобретен Пьером Безье в конце 60-х годов для рисования элегантных кузовов автомобилей.
Кривая Безье
Квадратичная кривая Безье - это путь, пройденный четырьмя заданными точками P1, P2, P3 и P4. Начальная и конечная позиции P1 и P4 являются якорями соответственно. В то время как две отдельные средние точки, P2 и P3, являются маркерами. Форму кривой Безье можно изменить, перемещая эти маркеры. Кривые Безье хорошо задокументированы.
Эллипс
Эллипс обычно выглядит как сжатый круг, но на самом деле эллипс - это особый вид круга. Определение эллипса гласит, что любая точка P на эллипсе имеет одинаковую сумму расстояний до двух «фокусных» точек, отмеченных E и F в нашем примере. Итак, в случае круга, E и F - это одна и та же точка, отмеченная O в нашем предыдущем примере.
Константа Эйлера e
По отношению к кругу e определяет экспоненциальную зависимость, означающую, что каждый круг является масштабированной версией единичного круга (круг с радиусом 1).
с e базовой скоростью роста
В качестве линии, ведущей к возможным дальнейшим исследованиям кругов, приведенное выше уравнение используется для определения сигмовидной кривой.
Сигмовидную кривую можно использовать для рисования S-образной линии, и ее часто используют при визуализации данных. Выражение функции, которая позволяет рисовать сигмовидные кривые, выражается как f (x).
Действительно, использование сигмовидных кривых распространяется на визуализацию данных. Они распространены среди разных типов диаграмм: Санки, блок-схемы или узловая диаграмма. Их часто используют для расчета выкидных линий, хотя это не рекомендуется. В основном это происходит из-за сжатия ширины потока посередине.
Используя математику в форме круга, можно рассчитать орбитальные траектории или азимутальные углы при выгорании для размещения спутника в выбранной позиции над Землей. Как и Кэтрин Джонсон в 60-х годах из Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА), она полагалась на эти же уравнения при построении навигационных карт для астронавтов в случае отказа электроники. Кроме того, она также выполняла анализ траектории для миссий Проект Меркурий и Аполлон и была той, которая проверяла сгенерированные компьютером числа для полета Джона Гленна; хотя вручную и на ней настольный механический счётчик.
Известная своими удивительными подвигами, она была известна как человек-компьютер и недавно стала одним из персонажей голливудского фильма Скрытые фигуры во время Космической гонки. Как-то все началось с круга!
Круг - это завораживающая форма, его используют во всех науках и искусствах, от древних до наших дней. При визуализации данных круги могут оказаться трудными из-за их удобочитаемости и эффективности, понимание математики для их рисования расширяет наши творческие возможности и помогает создавать индивидуальные элементы.
Особая благодарность моему 11-летнему мальчику за детские, но забавные представления моих вариантов использования и Жоржу Хаттабу за сотрудничество над этой частью.
