Биномиальные переменные и распределение
Мы все взаимодействовали с биномиальными переменными в той или иной форме в нашей повседневной жизни. Когда есть два возможных исхода и вероятность каждого исхода не меняется с течением времени, тогда сама ситуация является биномиальной переменной. Ряд результатов даст нам биномиальное распределение.
Мы редко осознаем, как знакомство с биномиальной переменной может помочь нам проецировать широкий спектр возможностей. Например, у пациента есть 5-процентный шанс выжить при данной болезни. Затем из заданного конечного набора людей, скажем, 100 в этом сценарии, можно получить вероятность того, что число людей выживет от этой болезни, или, по крайней мере, даст оценку числа людей, которые выживут без фактического проведения испытаний на большом количестве пациентов.
Чтобы понять биномиальную переменную и биномиальное распределение, нам нужно выполнить три условия.
- Каждое испытание может быть классифицировано как успешное или неудачное.
- Существует фиксированное количество испытаний, и они не зависят друг от друга.
- Вероятность успеха или неудачи остается постоянной
Исходя из базового понимания биномиальных переменных, давайте попробуем понять, когда данный сценарий является биномиальной переменной или нет.
Сценарий 1
В игре со стандартной колодой из 52 игральных карт игрок случайным образом берет 3 карты без замены. Какова вероятность вытянуть 3 туза.
Основываясь на сценарии, мы видим, что у нас есть конечное количество испытаний, равное 3. Кроме того, у нас есть событие для каждого испытания, указывающее, что данная карта является тузом или не тузом. Однако, когда мы пытаемся увидеть возможность вытягивания туза в каждой попытке, мы видим, что вероятность вытягивания тузов в каждой из трех попыток следующая:
Таким образом, мы видим, что вероятность продолжает меняться при каждом испытании, так что эта случайная переменная выбора туза из темной колоды не является биномиальной переменной, поскольку испытания не являются независимыми.
Сценарий 2
В игре со стандартной колодой из 52 игральных карт игрок случайным образом берет 3 карты с заменой. Какова вероятность вытянуть 3 туза.
В этом сценарии, подобно сценарию 1, у нас есть конечное число испытаний, и результатом каждого испытания является либо успех, либо неудача в подборе туза.
Однако важным аспектом в этой ситуации является то, что теперь карта из колоды выбирается с возвратом в каждой попытке, таким образом, вероятность вытягивания туза в каждой попытке теперь остается постоянной.
Таким образом, в данном сценарии мы видим, что случайная переменная выбора 3 тузов из данной колоды карт удовлетворяет всем ограничениям биномиальных переменных и делает ее теперь биномиальной переменной.
Учитывая, что мы понимаем биномиальную переменную, случайные величины X подчиняются биномиальному распределению с параметром n (количество испытаний) и p ∈ [0, 1], вероятность получения ровно k успехов в n независимых испытаниях определяется массой вероятности функция
Точно так же вероятность получения не более k успехов в независимых испытаниях определяется кумулятивной функцией распределения
В приведенных выше сценариях мы понимаем, что такое биномиальная переменная и как она может определять биномиальное распределение. Таким образом, давайте теперь попробуем использовать его, чтобы увидеть, как мы можем проецировать на большую популяцию, не вычисляя ее индивидуально для каждого испытания.
Сценарий :: Например, предположим, что известно, что 10 % всех заказов возвращаются в определенный магазин каждую неделю. Если на этой неделе было 50 заказов, можем ли мы определить вероятность того, что магазин получит больше определенного количества возвратов на этой неделе?
Учитывая вышеприведенный сценарий, мы можем найти вероятность того, что x заказов будет возвращено в данную неделю. Ситуация соответствует идее биномиальной переменной, она имеет фиксированное количество независимых испытаний с бинарным исходом.
Ожидание и дисперсия для биномиального распределения
Чтобы рассчитать ожидаемое или среднее количество событий для заданных биномиальных переменных из данного случайного испытания, мы можем вычислить математическое ожидание a
Точно так же дисперсия данного распределения может быть рассчитана как
