Метод интерполяции значения в середине квадрата по значениям первой и второй производных в углах?

Все практические примеры пространственной интерполяции, которые я смог найти, работают путем выборки дополнительных окружающих точек для оценки производных. Но есть ли более простой метод, если производные уже известны — и если вам нужно только значение (и производные) для одной точки в центре известных точек?

Для иллюстрации: предположим, что для каждой из точек (1, 1), (-1, 1), (-1, -1) и (1, -1) вы знаете f(x, y), f'(x), f''(x), f'(y) и f''(y), и вам нужны интерполированные значения в (0, 0) для f(x, y), f'(x), f''(x), f'(y) и f''(y).


interpolation algorithm spline spatial-interpolation
person AbouBenAdhem    schedule 01.06.2012    source источник

Ответы (1)


arrow_upward
1
arrow_downward

Во-первых, проблема в том виде, в каком она поставлена, не имеет смысла. В исчислении с несколькими переменными у нас нет производных, у нас есть частные производные. Много их.

Предположим, у вас есть значение, первые частные производные и вторые частные производные по углам. Таким образом, в каждом углу мы знаем значение, частичное по x, частичное по y, второе частичное по x по x, второе частичное по x по y и второе частичное по y по y. У нас есть 6 элементов данных на угол, всего 24 элемента данных.

Следующее, что мы делаем, это пытаемся подогнать это под подходящий полином. 24 члена, то есть a0 + a1 x + a2 y + a3 x^2 + a4 x y + a5 y^2 + a6 x^3 + a7 x^2 y + a8 x y^2 + a9 y^3 + a10 x^4 + a11 x^3 y + a12 x^2 y^2 + a13 x y^3 + a14 y^4 + a15 x^5 + a16 x^4 y + a17 x^3 y^2 + a18 x^2 y^3 + a18 x y^4 + a19 y^5 + a20 x^6 + a21 x^4 y^2 + a22 x^2 y^4 + a23 y^6. (Мне пришлось пропустить некоторые члены в 6-й степени, потому что я достиг предела в 24.)

Если вы вычислите это, сопоставив все эти значения со всеми этими точками, вы получите 24 уравнения с 24 переменными. Решите, и вы получите все коэффициенты для использования. Подставьте значение (0, 0) и у вас есть интерполяция.

Прямолинейно, скучно и не для слабонервных.

person btilly    schedule 01.06.2012
comment
Да, я имел в виду частные производные — извините, мои вычисления немного заржавели. Мне также не ясно второе частичное значение x по y — есть ли более интуитивное описание этого значения? - person AbouBenAdhem; 02.06.2012
comment
@AbouBenAdhem Возьмите частную производную по x. Это дает вам функцию. Затем возьмите частную производную этой функции по y. Это тот частичный, о котором я говорю, и в основном он улавливает термин xy. Вы также можете взять парциал по y, а затем партиал по x, но для функций с хорошим поведением это будет одно и то же. - person btilly; 02.06.2012