TempData не уничтожается после второго запроса

Разве это значение не должно быть уничтожено после второго запроса?

Только если вы это прочитаете:

var value = filterContext.Controller.TempData["value"];

Если вы не прочитаете значение из TempData, оно не будет удалено.

Вот как определяется геттер TempData.Items:

public object get_Item(string key)
{
    object obj2;
    if (this.TryGetValue(key, out obj2))
    {
        this._initialKeys.Remove(key);
        return obj2;
    }
    return null;
}

Обратите внимание, что значение будет вытеснено, только если вы вызовете метод получения и только если значение было найдено в коллекции. В коде, который вы показали, все, что вы делаете, это проверяете, содержит ли TempData данный ключ, но вы не читали значение этого ключа.

Вы можете вручную исключить значение TempData, если хотите:

filterContext.Controller.TempData.Remove("value");

А еще есть метод, который позволяет прочитать значение, не удаляя его:

var value = filterContext.Controller.TempData.Peek("value");