Как перегрузить оператор == для строкового класса в С++?

Ну, я должен сделать несколько замечаний здесь.

• Если под строкой вы имеете в виду массивы/указатели char, то вы не можете перегружать оператор ==, так как перегрузка оператора разрешена только для пользовательских типов

• Если под строками имеется в виду std::string, то и оператор == перегружать нельзя, так как он уже перегружен :)

• Для сравнения без учета регистра лучше всего использовать именованную функцию, например case_insensitive_equal. У Boost есть один - boost::iequals(str1, str2)

• Вы можете попытаться написать свой собственный char_traits, чтобы создать строковый тип, нечувствительный к регистру.

Что касается как написать функцию, сравнивающую строки без учета регистра, я бы сделал следующее:

bool case_insensitive_equal(const std::string& s1, const std::string& s2)
{
    if(s1.length() != s2. length())
       return false;
    for(int i = 0; i < s1.length(); ++i)
        if(std::toupper(s1[i]) != std::toupper(s2[i])) //tolower would do as well
            return false;
    return true;
}

Вместо циклов можно использовать std::transform и std::equal, но я думаю, что это более эффективно.

Вы не перегружаете operator== для std::string, потому что вам пришлось бы поместить оператор в пространство имен std. Это (а) не разрешено и (б) уже сделано реализацией стандартной библиотеки.

Также не рекомендуется перегружать любое operator==, чтобы оно означало что-то иное, кроме истинного равенства. т.е. если a == b, то a и b должны вести себя одинаково.

Что вам следует сделать, так это написать отдельную функцию со значимым именем, например.

bool areEqualIgnoringCase(const std::string&, const std::string&);