Уравнение первого эллипса=>
(((x*cos(A)+y*sin(A)-H1)^2)/(a1^2))+(((x*sin(A)-y*cos(A)-K1)^2)/(b1^2))=1
Уравнение второго эллипса=>
(((x*cos(B)+y*sin(B)-H2)^2)/(a2^2))+(((x*sin(B)-y*cos(B)-K2)^2)/(b2^2))=1
Я знаю, что эллипс пересекается в
Есть ли общий набор уравнений для решения того же самого?
Вы можете преобразовать эти уравнения в общую форму конического сечения:
A*x^2+2*B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0
и решить систему двух квадратных уравнений с помощью любого доступного математического пакета: Matlab, Maple, Mathematica, Mathcad, free Maxima, Derive, Octave и т. д. Решениями (точками) являются корни уравнения 4-го порядка (от 0 до 4 действительных корней).
Дополнение: Maple 6 решил эту систему, но текст решения очень-очень длинный. Кажется, вы знаете полуоси, угол поворота и центры эллипса, поэтому, возможно, стоит сделать аффинное преобразование, которое преобразует один эллипс в круг, применить это преобразование к обоим эллипсам, решить простую систему и сделать обратные преобразования.
Кленовое решение для этого случая:
solve({A*x^2+2*B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,x^2+y^2=1},{x,y});
{y = RootOf((4*B^2+C^2+A^2-2*A*C)*_Z^4+(2*E*C+4*D*B-2*E*A)*_Z^3+(D^2-4*B^2+E^2+2*F*C-2*A*F+2*A*C-2*A^2)*_Z^2+(2*E*A-4*D*B+2*F*E)*_Z-D^2+2*A*F+F^2+A^2),
x = -(-RootOf((4*B^2+C^2+A^2-2*A*C)*_Z^4+(2*E*C+4*D*B-2*E*A)*_Z^3+(D^2-4*B^2+E^2+2*F*C-2*A*F+2*A*C-2*A^2)*_Z^2+(2*E*A-4*D*B+2*F*E)*_Z-D^2+2*A*F+F^2+A^2)^2*A+
RootOf((4*B^2+C^2+A^2-2*A*C)*_Z^4+(2*E*C+4*D*B-2*E*A)*_Z^3+(D^2-4*B^2+E^2+2*F*C-2*A*F+2*A*C-2*A^2)*_Z^2+(2*E*A-4*D*B+2*F*E)*_Z-D^2+2*A*F+F^2+A^2)^2*C+
RootOf((4*B^2+C^2+A^2-2*A*C)*_Z^4+(2*E*C+4*D*B-2*E*A)*_Z^3+(D^2-4*B^2+E^2+2*F*C-2*A*F+2*A*C-2*A^2)*_Z^2+(2*E*A-4*D*B+2*F*E)*_Z-D^2+2*A*F+F^2+A^2)*E+A+F)/
(2*RootOf((4*B^2+C^2+A^2-2*A*C)*_Z^4+(2*E*C+4*D*B-2*E*A)*_Z^3+(D^2-4*B^2+E^2+2*F*C-2*A*F+2*A*C-2*A^2)*_Z^2+(2*E*A-4*D*B+2*F*E)*_Z-D^2+2*A*F+F^2+A^2)*B+D)}
Это можно сделать, найдя собственные значения симметричной матрицы 3x3 без (явного) решения квартик.
В Graphics Gems V есть статья Кеннета Дж. Хилла под названием Matrix-based Ellipse Geometry. Большая часть этой статьи доступна в книгах Google, но есть резюме автора, заархивированное в группах новостей sci.math и comp.graphics.algorithms в 1995 году. Вы можете найти его здесь — просмотрите примерно 2/3 страницы вниз.
Ключевая идея заключается в том, что если вы поместите коники, любые двумерные коники, а не только эллипсы, в матричную форму следующим образом:
[ A B D ] [ x ]
[x y 1] [ B C E ] [ y ] = [ 0 ]
[ D E F ] [ 1 ]
или transpose(X).C.X = 0, тогда вы сможете поиграть в некоторые игры. C называется характеристической матрицей коники.
Итак, если C1 и C2 — характеристические матрицы ваших эллипсов, а xi — точка пересечения, то xi — точка пересечения любой коники с характеристической матрицей C1 + lambda C2. Если в качестве собственного значения выбрана лямбда, то C1 + lambda C2 является вырожденным и может интерпретироваться как набор строк. Остается только пересечь линии, выделенные из вырожденных характеристических матриц, с исходными эллипсами и отбросить лишние решения.
