встроенная функция шаблона?

Да, потому что это полные специализации функций, и поэтому они подчиняются правилу одного определения, как и обычные функции.

Да, вам нужен спецификатор inline.

ODR (правило одного определения) гласит, что должно быть ровно одно определение переменной, функции, класса, перечисления или шаблона. Исключения, относящиеся к вашему вопросу, перечислены в §3.2/5 (С++ 11) (выделено мной):

Может быть более одного определения типа класса (раздел 9), типа перечисления (7.2), встроенной функции с внешней связью (7.1.2), шаблона класса (раздел 14), шаблона нестатической функции (14.5.6). , статический элемент данных шаблона класса (14.5.1.3), функция-член шаблона класса (14.5.1.1) или специализация шаблона, для которой не указаны некоторые параметры шаблона (14.7, 14.5.5 ) в программе при условии, что каждое определение появляется в отдельной единице перевода, и при условии, что определения удовлетворяют следующим требованиям. [...]

Специализации шаблонов, для которых указаны все параметры (т. е. явные специализации), здесь не перечислены, и в §14.7.3/12 говорится:

Явная специализация шаблона функции является встроенной только в том случае, если она объявлена ​​с помощью спецификатора inline или определена как удаленная, и независимо от того, является ли ее шаблон функции встроенным. [ Пример:

template<class T> void f(T) { /∗ ... ∗/ }
template<class T> inline T g(T) { /∗ ... ∗/ }
template<> inline void f<>(int) { /∗ ... ∗/ }  // OK: inline
template<> int g<>(int) { /∗ ... ∗/ }          // OK: not inline

— конец примера]

Кажется, что метод шаблона должен быть определен в том же файле, который создается. Вам не нужно использовать ключевое слово «inline», поскольку они были созданы в каждом файле cpp, который его включает.

Нет причин использовать inline для объявления шаблона, но не для полной специализации шаблона, вам не нужно добавлять ключевое слово inline для первой строки, но оно нужно для второй и третьей. Но каждая единица перевода, использующая шаблон, должна содержать определение шаблона, поэтому лучше всего включить его в заголовочный файл и включить в другие cpp, которые его используют.

В стандарте С++ n3376 для 3.2/6 может быть более одного определения шаблона класса для всего приложения, если определение одинаковое.

===============

Обновите базу ответов на комментарии Джесси Гуд (необходимо встроить для полной специализации шаблона). Спасибо, Джесси Гуд, укажите на это.