Как называются объекты, передаваемые из селектора jQuery в функцию-обработчик?

Это обычное поведение в браузерах, когда при добавлении элемента с атрибутом ID в документ браузер также покажет свойство в window с идентификатором элемента в качестве имени и элементом в качестве значения. Я бы не стал полагаться на него, если беспокоит совместимость, поскольку (а) он явно не указан ни в одном общем стандарте, который я могу найти, и (б) магические переменные могут вызвать всевозможные головные боли, если вы не будете осторожны. Но в настоящее время это делают как минимум 4 из 5 распространенных браузеров. (IE, Chrome, Opera и Firefox — все это делают, хотя веб-консоль FF довольно ненадежна в этом отношении. У меня нет Safari для тестирования.)

Что касается того, почему ваша кнопка отображается как ({jQuery##########:2}):

Когда jQuery добавляет к элементу обработчики событий (или некоторые другие типы данных), он устанавливает свойство с именем 'jQuery' + the version digits + a big random number, а значением является уникальное целое число. Кое-что о ресурсах и тому подобное.

Во всяком случае, соедините это со встроенной консолью Firefox, которая довольно тупа. В тот момент, когда вы добавляете свойство к элементу, консоль забывает, что это элемент. Например, откройте консоль на любой существующей странице (подойдет даже about:blank) и попробуйте ввести это по порядку (хотя вы, конечно, можете пропустить комментарии):

d = document.createElement('div')     // [object HTMLDivElement]
d                                     // [object HTMLDivElement]

// all's good so far...
d.id = 'stuff'                        // "stuff"
d                                     // [object HTMLDivElement]

// now set a property the browser doesn't define
d.randomProperty = 42                 // 42
d                                     // ({randomProperty:42})

// still an element, though
d.id                                  // "stuff"

txt = document.createTextNode('test') // [object Text]
d.appendChild(txt)                    // [object Text]
d                                     // ({randomProperty:42})

// and once the property's gone...
delete d.randomProperty               // true
d                                     // [object HTMLDivElement]

Проблема связана с консолью, а не с браузером или jQuery. Элементы по-прежнему остаются элементами, и они по-прежнему будут отлично работать для любых элементарных вещей, которые вы хотите с ними делать.

Это не связано с jQuery, это связано с тем, что некоторые браузеры определяют глобальную переменную для элементов, которые имеют атрибуты ID/name. Поскольку у вас есть элемент с атрибутом ID press, переменная press относится к этому элементу DOM.

Всегда ли работает селектор jQuery по идентификатору без кавычек и знака #?

Переменная press в вашем коде не связана с событием $('#press').click.