Получить последние 1000 цифр из 5 ^ 1234566789893943

Простой алгоритм:

1. Maintain a 1000-digits array which will have the answer at the end
2. Implement a multiplication routine like you do in school. It is O(d^2).
3. Use modular exponentiation by squaring.

Итеративное возведение в степень:

array ans;
int a = 5;

while (p > 0) {

    if (p&1) {

       ans = multiply(ans, a)
    }

    p = p>>1;

    ans = multiply(ans, ans);
}

multiply: multiplies two large number using the school method and return last 1000 digits.

Временная сложность: O (d ^ 2 * logp), где d - количество последних необходимых цифр, а p - степень.

Типичным решением этой проблемы было бы использование модульной арифметики и возведения в степень путем возведения в квадрат для вычисления остатка от 5^1234566789893943 при делении на 10^1000. Однако в вашем случае этого все равно будет недостаточно, так как потребуется около 1000 * log (1234566789893943) операций, и это не слишком много, но я предложу более общий подход, который будет работать для больших значений показателя степени.

Вам придется использовать более сложную теорию чисел. Вы можете использовать теорему Эйлера, чтобы гораздо эффективнее получить остаток от 5^1234566789893943 по модулю 2^1000. Обозначим r. Также очевидно, что 5^1234566789893943 делится на 5^1000.

После этого нужно найти такое число d, что 5^1000*d = r(modulo 2^1000). Чтобы решить это уравнение, вы должны вычислить 5^1000(modulo 2^1000). После этого остается сделать деление по модулю 2 ^ 1000. Снова используя теорему Эйлера, это можно сделать эффективно. Используйте это x^(phi(2^1000)-1)*x =1(modulo 2^1000). Этот подход намного быстрее и является единственно возможным решением.

Ключевая фраза - «модульное возведение в степень». В Python встроено:

Python 3.4.1 (v3.4.1:c0e311e010fc, May 18 2014, 10:38:22) [MSC v.1600 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
>>> help(pow)
Help on built-in function pow in module builtins:

pow(...)
    pow(x, y[, z]) -> number

    With two arguments, equivalent to x**y.  With three arguments,
    equivalent to (x**y) % z, but may be more efficient (e.g. for ints).

>>> digits = pow(5, 1234566789893943, 10**1000)
>>> len(str(digits))
1000
>>> digits
4750414775792952522204114184342722049638880929773624902773914715850189808476532716372371599198399541490535712666678457047950561228398126854813955228082149950029586996237166535637925022587538404245894713557782868186911348163750456080173694616157985752707395420982029720018418176528050046735160132510039430638924070731480858515227638960577060664844432475135181968277088315958312427313480771984874517274455070808286089278055166204573155093723933924226458522505574738359787477768274598805619392248788499020057331479403377350096157635924457653815121544961705226996087472416473967901157340721436252325091988301798899201640961322478421979046764449146045325215261829432737214561242087559734390139448919027470137649372264607375942527202021229200886927993079738795532281264345533044058574930108964976191133834748071751521214092905298139886778347051165211279789776682686753139533912795298973229094197221087871530034608077419911440782714084922725088980350599242632517985214513078773279630695469677448272705078125
>>> 

Нам необходимо знать метод возведения в степень квадратом и модулем. Нам также нужно использовать BigInteger в Java.

Простой код на Java:

BigInteger m = //BigInteger of 10^1000

BigInteger pow(BigInteger a, long b) {
   if (b == 0) {
      return BigInteger.ONE;
   }
   BigInteger val = pow(a, b/2);
   if (b % 2 == 0)
       return (val.multiply(val)).mod(m);
   else
       return (val.multiply(val).multiply(a)).mod(m);
}

В Java функция modPow сделал все за вас (спасибо Java).

Используйте сравнение и применяйте модульную арифметику. Алгоритм возведения в квадрат и умножения. Если вы разделите любое число с основанием 10 на 10, остаток представляет собой последнюю цифру. т.е. 23422222 = 2342222 * 10 + 2

Итак, мы знаем:

5=5(mod 10)
5^2=25=5(mod 10)  
5^4=(5^2)*(5^2)=5*5=5(mod 10)
5^8=(5^4)*(5^4)=5*5=5(mod 10)

... и продолжайте, пока не дойдете до этого показателя

ИЛИ, вы можете понять, что по мере продолжения работы вы продолжаете получать 5 в качестве остатка.

Преобразуйте число в строку.

Цикл по строке, начиная с последнего индекса до 1000.

Затем переверните строку результата.

Я разместил здесь решение, основанное на некоторых подсказках.

#include <vector>
#include <iostream>

using namespace std;

vector<char> multiplyArrays(const vector<char> &data1, const vector<char> &data2, int k) {
    int sz1 = data1.size();
    int sz2 = data2.size();
    vector<char> result(sz1+sz2,0);

    for(int i=sz1-1; i>=0; --i) {
        char carry = 0;
        
        for(int j=sz2-1; j>=0; --j) {
            char value = data1[i] * data2[j]+result[i+j+1]+carry;  
            
            carry = value/10;            
            result[i+j+1] = value % 10;
        }

        result[i]=carry;
    }
    if(sz1+sz2>k){
        vector<char> lastKElements(result.begin()+(sz1+sz2-k), result.end());
        return lastKElements;
    }
    else
        return result;
}

vector<char> calculate(unsigned long m, unsigned long n, int k) {
    if(n == 0) {
        return vector<char>(1, 1);
    } else if(n % 2) { // odd number
        vector<char> tmp(1, m);
        vector<char> result1 = calculate(m, n-1, k);
        return multiplyArrays(result1, tmp, k);
    } else {
        vector<char> result1 = calculate(m, n/2, k);
        return multiplyArrays(result1, result1, k);
    }
}

int main(int argc, char const *argv[]){


    vector<char> v=calculate(5,8,1000);
    for(auto c : v){
        cout<<static_cast<unsigned>(c);
    }

}

Я не знаю, может ли Windows показать большое число (или мой компьютер достаточно быстр, чтобы показать это), но я думаю, вы МОЖЕТЕ использовать этот код как и алгоритм:

ulong x = 5; //There are a lot of libraries for other languages like C/C++ that support super big numbers. In this case I'm using C#'s default `Uint64` number.
for(ulong i=1; i<1234566789893943; i++)
{
    x = x * x; //I will make the multiplication raise power over here
}
string term = x.ToString(); //Store the number to  a string. I remember strings can store up to 1 billion characters.

char[] number = term.ToCharArray(); //Array of all the digits
int tmp=0;
while(number[tmp]!='.') //This will search for the period.
tmp++;

tmp++; //After finding the period, I will start storing 1000 digits from this index of the char array

string thousandDigits = ""; //Here I will store the digits.

for (int i = tmp; i <= 1000+tmp; i++)
{
    thousandDigits += number[i]; //Storing digits
}

Используя это как ссылку, я думаю, если вы хотите попытаться получить LAST 1000 символов этого массива, измените это в for из приведенного выше кода:

string thousandDigits = "";

for (int i = 0; i > 1000; i++)
{
    thousandDigits += number[number.Length-i]; //Reverse array... ¿?
}

Поскольку я не работаю с числами super super looooong, я не знаю, сможет ли мой компьютер их получить, я попробовал код, и он работает, но когда я пытаюсь показать результат в консоли, он просто оставляет указатель мерцания xD Угадайте, что это еще работает. Нет профессионального процессора. Попробуйте, если хотите: P