Как рассчитывается число пи (π)?

В исчислении есть вещь, называемая рядами Тейлора, которая обеспечивает простой способ вычисления многих иррациональных значений с произвольной точностью.

Пи/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
(из http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.1-3).shtml )

Продолжайте добавлять эти термины до тех пор, пока не стабилизируется требуемое количество цифр точности.

Теорема Тейлора — мощный инструмент, но вывод этого ряда с помощью теоремы выходит за рамки вопроса. Это стандартное исчисление для первокурсников университета, и его легко найти в Google, если вас интересуют подробности.

Я не имел в виду, что это самый практичный метод вычисления числа пи. Это будет зависеть от того, почему вам действительно нужно это сделать. Для практических целей вы должны просто скопировать столько цифр, сколько вам нужно, из одной из многих опубликованных версий. Я предлагал это как простое введение в то, как иррациональные ценности могут быть приравнены к бесконечным рядам.

В качестве альтернативы методу JeffH для хранения каждого варианта вы можете просто сохранить максимальное количество цифр и отрезать то, что вам не нужно:

#include <string>
#include <iostream>
using std::cout; using std::endl; using std::string;

// The first 99 decimal digits taken from:
// http://www.geom.uiuc.edu/~huberty/math5337/groupe/digits.html
// Add more as needed.
const string pi =
  "1415926535"
  "8979323846"
  "2643383279"
  "5028841971"
  "6939937510"
  "5820974944"
  "5923078164"
  "0628620899"
  "8628034825"
  "342117067";

// A function in C++ that returns pi to X places
string CalcPi(const size_t decimalDigitsCount) 
{
  string returnValue = "3";
  if (decimalDigitsCount > 0)
  {
    returnValue += "." + pi.substr(0, decimalDigitsCount);
  }
  return returnValue;
} 

int main()
{
  // Loop through all the values of "pi at x digits" that we have. 
  for (size_t i = 0; i <= pi.size(); ++i) 
  {
    cout << "pi(" << i << "): " << CalcPi(i) << endl;
  } 
}

http://codepad.org/6mqDa1zj

Попробуйте "вычислить n-ю цифру числа пи в любом основании за O(n^2)< /а>». Вероятно, это самый быстрый из известных алгоритмов, который не требует произвольной (читай огромной) точности с плавающей запятой и может выдать результат непосредственно в десятичной системе счисления (или любой другой).

Я полагаю, что алгоритм, который вы ищете, известен как "алгоритм патрубка". Одним из конкретных видов является формула BBP (Bailey-Borwein-Plouffe).

Я считаю, что это то, что вы ищете.

"π В МНОЖЕСТВЕ МАНДЕЛЬБРОТА" исследует любопытную взаимосвязь между последовательностью точек на комплексной плоскости и тем, как вычисляется их "число Мандельброта" (за неимением лучшего термина... количество итераций, необходимых для определения того, что точки в последовательности не являются членами множество Мандельброта) относится к ПИ.

Практичный? Возможно нет.

Неожиданно и интересно? Я так думаю.

Я бы начал с формулы

pi = 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239)

Google легко найдет доказательство этой формулы, понятное обычным людям, и формулу для вычисления функции арктангенса. Это позволит вам легко и быстро вычислить несколько тысяч десятичных знаков числа пи.

Готовы ли вы искать значения вместо их вычисления?

Поскольку вы явно не указали, что ваша функция должна вычислять значения, вот возможное решение, если вы хотите иметь верхний предел количества цифр, которые она может "вычислить":

// Initialize pis as far out as you want. 
// There are lots of places you can look up pi out to a specific # of digits.
double pis[] = {3.0, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1416}; 

/* 
 * A function that returns pi out to a number of digits (up to a point)
 */
double CalcPi(int x)
{
    // NOTE: Should add range checking here. For now, do not access past end of pis[]
    return pis[x]; 
}

int main()
{
    // Loop through all the values of "pi at x digits" that we have.
    for (int ii=0; ii<(int)sizeof(pis)/sizeof(double); ii++)
    {
        double piAtXdigits = CalcPi(ii);
    }
}