Я новичок в оптимизации и приветствую любое руководство в этой области.
У меня есть 15 матриц (т.е. Di размера (n*m)) и я хочу найти лучшие веса (т.е. wi) для их взвешенного усреднения и создать лучшую матрицу, которая больше похожа на одну заданную матрицу (т.е. Dt).
На самом деле моя целевая функция такова:
min [norm2(sum(wi * Di) - Dt) + norm2(W)]
for i=1 ... 15 s.t. sum(wi) = 1 , wi >= 0
Как я могу оптимизировать эту функцию в Matlab?
Вы описываете простое квадратичное программирование, которое можно легко оптимизировать с помощью quadprog.
Вот как это происходит:
Ваша целевая функция [norm2(sum(wi * Di) - Dt) + norm2(W)] подчинена некоторым линейным ограничениям на w. Давайте перепишем его, используя некоторые упрощенные обозначения. Пусть w будет вектором неизвестных размером 15 на 1. Пусть D будет матрицей n*mx15 (каждый столбец является одной из Di матриц, которые у вас есть - записаны в виде одного столбца), а Dt - это вектор n*mx1 (такой же, как ваш Dt, но записанный как вектор-столбец). ). Теперь немного линейной алгебры (используя тот факт, что ||x||^2 = x'*x и что argmin x эквивалентен argmin x^2)
[norm2(sum(wi * Di) - Dt)^2 + norm2(W)^2] =
(D*w-Dt)'*(D*w-Dt) + w'*w =
w'D'Dw - 2w'D'Dt + Dt'Dt + w'w =
w'(D'D+I)w - 2w'D'Dt + Dt'Dt
Последний член Dt'Dt постоянен по отношению к w и поэтому может быть отброшен во время минимизации, оставляя вас с
H = 2*(D'*D+eye(15));
f = -2*Dt'*D;
Что касается ограничения sum(w)=1, его легко определить с помощью
Aeq = ones(1,15);
beq = 1;
А нижняя граница lb = zeros(15,1) гарантирует, что все w_i>=0.
И квадратичная оптимизация:
w = quadprog( H, f, [], [], Aeq, beq, lb );
Должен сделать трюк для вас!
mнаn в векторы m*nна1 (просто изменяя их форму), это упростит алгебру и позволит найти простое решение.
- person Shai; 14.04.2015
Di не имеет смысла - эффективная размерность вашей проблемы равна 15. Как вы можете видеть, коэффициенты quadprog имеют размер 15 на 15 и 15 на 1. (2) Попробуйте поставить quadprog с x0 - первоначальное предположение x0=ones(1,15)/15 - это повлияет на результат? (3) каковы типичные значения H и f? у вас может возникнуть проблема с очень большими коэффициентами, вызывающими числовую нестабильность.
- person Shai; 14.04.2015
L2 срок регуляризации на w и L1 ограничение (sum(w_i)=1) - в этом случае неудивительно, что вы получаете w, который является двоичным. Попробуйте удалить термин регуляризации L2 (компонент eye(15) из H) и посмотрите, что произойдет.
- person Shai; 14.04.2015
