Где лучше всего сохранить на мобильном устройстве Android с помощью AIR и как

Именно для этого предназначен File.applicationStorageDirectory.

Вы можете сохранить любые данные в файл (XML, JSON, AMF, базу данных sqlite) и сохранить асинхронно, чтобы избежать зависаний пользовательского интерфейса.

Пример сохранения строковых данных (таких как сериализованный XML или JSON):

function save(data:String):void {
    var file:File = File.applicationStorageDirectory.resolvePath("preferences.data");
    var fileStream:FileStream = new FileStream();
    fileStream.open(file, FileMode.WRITE); // or openAsync()
    fileStream.writeUTFBytes(data);
    fileStream.close();
}

function load():String {
    var file:File = File.applicationStorageDirectory.resolvePath("preferences.data");
    var fileStream:FileStream = new FileStream();
    fileStream.open(file, FileMode.READ);
    var data:String = fileStream.readUTFBytes(fileStream.bytesAvailable);
    fileStream.close();
    return data;
}