указатели и оператор инкремента

Ваша проблема здесь:

while (*cp++>0)  
    std::cout<<*cp;

Постфиксный оператор увеличивает значение после вычисления выражения, в котором он использовался. Однако в этом операторе while есть два разных выражения, относящихся к cp: первое проверяет и увеличивает, а второе печатает. Поскольку второй является отдельным оператором, приращение к тому времени уже произошло.

т. е. вы в настоящее время тестируете 'C', затем увеличиваете значение независимо от результата, затем печатаете '+' через теперь увеличенный указатель. Если бы он повторял строковый литерал, этот код также увеличивался бы один раз после достижения 0, хотя вы не видите результата этого, потому что он пропускает печать (потому что он выполняет итерацию по созданному вручную массиву без ограничителя null, что на самом деле здесь он падает с конца и демонстрирует неопределенное поведение; это само по себе большая ошибка, вы не можете полагаться на то, что в конце будет ноль, если его там не было).

Эта строка печатает: C и возврат каретки.

std::cout<<*str<<std::endl;

Затем вы зацикливаетесь на следующих символах, но нет конечного символа (например, переполнение буфера)
Вот исправленный код.

#include <iostream>

const char str[]={'C','+','+', '\0'};

int main()
{ 
    const char* cp = str;                     
    std::cout<< *str << std::endl;

    while (*cp++ > 0)  
    std::cout << *cp;

    return 0;
}

Этот код еще проще, если вы хотите отобразить "C++"

#include <iostream>

const char str[]={'C','+','+', '\0'};

int main()
{ 
    const char* cp = str;                     

    while (*cp > 0)
        std::cout << *cp++;

    std::cout << std::endl;

    return 0;
}

не должен ли оператор приращения постфикса оценивать выражение, но возвращать значение без изменений?

Нет, постфиксный оператор сначала возвращает значение операнда, только потом оно увеличивается на 1.

здесь,

while (*cp++>0)  
    std::cout<<*cp;

к тому времени, когда он достигает std::cout<<*cp;, значение cp увеличивается, и, следовательно, результат ++.

В соответствии

while(*cp++>0)

Оператор постинкремента выполняется после того, как произойдет оценка.

то есть cp указывает на C во время первой оценки условия while.

So,

*cp => 'C' which is greater than 0.

Перед переходом к следующей строке (внутри цикла) выполняется оператор постинкремента, в результате чего cp указывает на первый +

После того, как + напечатано, снова выполняется условие while, на этот раз *cp возвращает '+'. начиная с '+' > 0 управление входит в цикл во второй раз.

Перед входом в цикл оператор постинкремента выполняется снова, заставляя cp указывать на второй «+», который печатается.

Теперь, пока условие выполняется в третий раз. Здесь *cp возвращает +. Таким образом, управление снова входит в цикл.

Перед входом в цикл постинкремент выполняется снова. На этот раз он указывает cp на следующий символ, то есть на \0.

Печатается \0, что не имеет значения в этом коде. Затем, когда условие while выполняется снова, *cp возвращает \0, что не > 0. Таким образом, условие не выполняется.

Редактировать. Увидел в комментариях, что вы хотели напечатать всю строку в одной строке. Измените цикл на:

while(*cp > 0)
    std:cout<<*cp++;