У прослушивателя местоположения есть проблемы с работой на некоторых устройствах и проблемы с переходом на FusedLocationListener

Похоже, вы уже используете GoogleApiClient, поэтому вам не нужна помощь. Ваш код уже обновлен до неустаревшего способа сделать это.

Всего пара изменений должна решить ваши проблемы, и я вижу еще одну проблему, не упомянутую.

Во-первых, вы упоминаете, что у вас возникли проблемы с прослушивателем Location и что вам нужно перезапустить Activity, чтобы он снова заработал.

Чтобы это исправить, просто переместите код, соединяющий GoogleApiClient, с onCreate() на onResume():

@Override
public void onResume() {
    super.onResume();

    if (mGoogleApiClient == null || !mGoogleApiClient.isConnected())
    {
        buildGoogleApiClient();
        mGoogleApiClient.connect();
    }

    MapFragment mapF = (MapFragment) getFragmentManager().findFragmentById(R.id.map);
    //only call getMapAsync() again if mMap is null:
    if (mapF != null && mMap == null)
        mapF.getMapAsync(this);

}

Другая проблема заключается в том, что вы должны отменить регистрацию обновлений местоположения в onPause(), чтобы ваше приложение не продолжало запрашивать обновления местоположения, когда пользователь покидает ваше приложение:

@Override
public void onPause() {
    super.onPause();

    //added to stop location updates when Activity is no longer active
    LocationServices.FusedLocationApi.removeLocationUpdates(mGoogleApiClient, this);
}

Вот полный код класса, который должен работать для вас, обратите внимание, что я также добавил ссылку на GoogleMap и установил ее в обратном вызове onMapReady() (у вас может быть это уже в вашем полном коде):

public class MapPlace extends AppCompatActivity implements OnMapReadyCallback, GoogleApiClient.ConnectionCallbacks, GoogleApiClient.OnConnectionFailedListener, LocationListener
{
    private LocationRequest mLocationRequest;
    private GoogleApiClient mGoogleApiClient;
    private Location mLastLocation;
    // location coordinates
    double dLatitude = 0.0;
    double dLongitude = 0.0;

    GoogleMap mMap;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState)
    {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_map_place);

    }

    @Override
    public void onResume() {
        super.onResume();

        if (mGoogleApiClient == null || !mGoogleApiClient.isConnected())
        {
            buildGoogleApiClient();
            mGoogleApiClient.connect();
        }

        MapFragment mapF = (MapFragment) getFragmentManager().findFragmentById(R.id.map);
        //only call getMapAsync() again if mMap is null:
        if (mapF != null && mMap == null)
            mapF.getMapAsync(this);

    }

    @Override
    public void onPause() {
        super.onPause();

        //added to stop location updates when Activity is no longer active
        LocationServices.FusedLocationApi.removeLocationUpdates(mGoogleApiClient, this);
    }


    @Override
    public void onMapReady(GoogleMap googleMap) {
        mMap = googleMap;
    }

    protected synchronized void buildGoogleApiClient()
    {
        mGoogleApiClient = new GoogleApiClient.Builder(this)
                .addConnectionCallbacks(this)
                .addOnConnectionFailedListener(this)
                .addApi(LocationServices.API)
                .build();
    }

    @Override
    public void onConnected(Bundle bundle) {
        mLocationRequest = new LocationRequest();
        mLocationRequest.setInterval(1000);
        mLocationRequest.setFastestInterval(1000);
        mLocationRequest.setPriority(LocationRequest.PRIORITY_BALANCED_POWER_ACCURACY);
        LocationServices.FusedLocationApi.requestLocationUpdates(mGoogleApiClient, mLocationRequest, this);
    }

    @Override
    public void onConnectionSuspended(int i) {}

    @Override
    public void onConnectionFailed(ConnectionResult connectionResult) {}

    @Override
    public void onLocationChanged(Location location)
    {
        mLastLocation = location;
        dLatitude = mLastLocation.getLatitude();
        dLongitude = mLastLocation.getLongitude();

    }

}