Является ли Natural Join дистрибутивом над Union?

ДА.

Предположим, у нас есть 3 отношения R, S, T.

Прежде всего, вы должны знать, что S и T должны быть совместимы по объединению, чтобы выполнять операцию объединения, что означает, что два отношения имеют одинаковые поля.

Докажите слева -> справа:

Предположим, что строка r принадлежит множеству левых операций. Тогда для тех значений, которые исходно из S или T, они должны появиться либо в отношении S, либо в T. Не ограничивая общности, предположим, что они из S. Тогда строка r принадлежит R ⋈ S.

Докажите право -> лево:

Предположим, что строка r' принадлежит множеству правильных операций. Тогда r либо принадлежит R ⋈ S, либо R ⋈ T.

Без ограничения общности предположим, что r принадлежит R ⋈ S. Тогда для тех значений, которые исходно из S, оно также принадлежит строке в S U T.

Следовательно, r' принадлежит R ⋈ (SU T) .

Следовательно, предложение верное.

В семантике Set, как показано в ответе Типтона, это выполняется, но в семантике мешков, как они используются в SQL, это не так. Рассмотрим контрпример:

    > create table R(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 5 msec.
    > create table S(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > create table T(A TEXT);
    Query executed in 0 min. 0 sec 2 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into R values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 0 msec.
    > insert into S values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > insert into T values('a');
    Query executed in 0 min. 0 sec 1 msec.
    > select * from (select * from R JOIN (select * from S UNION select * from T) u ON R.A=u.A);
    a|a
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A:1 
    Query executed and displayed **2 rows** in 0 min. 0 sec 11 msec.
    > select * from R JOIN S ON R.A=S.A UNION select * from R JOIN T ON R.A=T.A;
    a|a
    --- [0|Column names ---
    [1|A [2|A 
    Query executed and displayed **1 row** in 0 min. 0 sec 20 msec.