Как сохранить логин администратора при использовании ajaxProcess?

В вашей функции ajaxProcess сделайте следующее:

$cookie = Context::getContext()->cookie;
$cookie->write();

Это обновит продолжительность вашего файла cookie администратора, когда ваш ajaxProcess вернется, то есть когда будут отправлены заголовки, как устанавливаются файлы cookie.

При желании вы можете включить этот код над вызовом write(), чтобы также записывалось время последней активности.

if (!Tools::getValue('stay_logged_in')) {
   $cookie->last_activity = time();
}

Вы можете увидеть этот код в действии в /controllers/admin/AdminLoginController.php