p(x)⇒∀x.p(x) случайно?

Я столкнулся с вопросом о том, является ли текущее предложение действительным/условным/неудовлетворительным:

p(x)⇒∀x.p(x)

Я думаю, что ответ правильный. в разделе 6.10 учебника здесь http://logic.stanford.edu/intrologic/secondary/notes/chapter_06.htmlsays

предложение со свободными переменными эквивалентно предложению, в котором все свободные переменные универсально квантифицированы.

Поэтому я думаю, что первое реляционное предложение p(x) равно ∀x.p(x) и, следовательно, предложение правильное, т.е. это всегда правда.

Однако правильный ответ заключается в том, что предложение является условным, а именно. при некотором присваивании истинности оно истинно, а при другом присваивании истинности оно ложно.

Так почему же предложение условное? Ответ неправильный?


logic first-order-logic
person badbye    schedule 17.07.2016    source источник

Ответы (2)


arrow_upward
1
arrow_downward

У вас есть заявление:

p(x)⇒∀x.p(x)

Если вы универсально закроете свободную переменную, вы получите:

∀x.(p(x)⇒∀x.p(x))

другими словами:

∀x.(p(x)⇒∀y.p(y))

что не является тавтологией, но является случайным. В нетехнических терминах это звучит так:

для любого x, если p(x) верно, то p(y) верно для всех y

или, чтобы преобразовать его в эквивалентную форму:

(∃x.p(x))⇒(∀y.p(y))

он гласит:

если p(x) верно для некоторых x, то p(y) верно для всех y

Другими словами,

p(x) либо всегда верно, либо всегда ложно

person sawa    schedule 17.07.2016
comment
Следует ли читать ∀x.(p(x)⇒∀y.p(y)) так, как будто p(x) истинно для ВСЕХ x, тогда оно истинно для всех x ? - person badbye; 17.07.2016
comment
Нет, это будет (∀x.p(x))⇒(∀y.p(y)) (с некоторыми ненужными скобками для большей ясности). - person Alexey Romanov; 17.07.2016
comment
В своем ответе вы сказали, что это читается как «если p (x) верно для НЕКОТОРЫХ x, то .... Я не понимаю, откуда взялся квантор SOME, поскольку в '∀x нет квантора '∃'. ( p(x)⇒∀y.p(y))'. - person badbye; 17.07.2016
comment
Спасибо. Я думаю, что моя путаница раньше заключалась в преобразовании от ∀x.(p(x)⇒∀y.p(y)) к (∃x.p(x))⇒(∀y.p(y)). Вы знаете название этого закона преобразования квантификатора? Так что я мог бы быть более уверенным в использовании этого в будущем. - person badbye; 17.07.2016

arrow_upward
2
arrow_downward

Я думаю, это зависит от того, как вы читаете предложение.

Если вы читаете это как определение, то оно не является случайным.

Однако, если вы читаете это как чистую логику... тогда на самом деле в утверждении есть 2 значения x. x слева от импликации отличается от x в квантификации справа.

p(x) => for all x . p(x)

означает то же, что

p(x) => for all y . p(y)

и это явно условно. Это верно не для всех предикатов p.

(Например:

  1. Пусть p(x) обозначает предикат «x — левша».

  2. Затем в заявлении говорится:

     X is left-handed implies that everyone is left-handed.

    ... что не является логически верным утверждением.

Смотрите ответ @sawa для более «математически строгого» объяснения.

person Stephen C    schedule 17.07.2016
comment
Спасибо, я думаю, что моя путаница раньше заключалась в преобразовании от ∀x.(p(x)⇒∀y.p(y)) к (∃x.p(x))⇒(∀y.p(y)). Вы знаете название этого закона преобразования квантификатора? Так что я мог бы быть более уверенным в использовании этого в будущем. - person badbye; 17.07.2016