C# Отменить задачу с запущенным списком‹›

Что вам нужно сделать, так это передать маркер отмены вниз по цепочке вызовов, а затем использовать его, где это возможно, вам также необходимо зарегистрировать обратный вызов отмены для вызова WebClient.CancelAsync(), чтобы отменить загрузку.

private async void btn_download_Click(object sender, EventArgs e)
{
    .
    .
    .
    var token = cancelTokenSource.Token;
    try
    {
        await DownloadMultipleFilesAsync(old_json, token);
        Console.WriteLine("Download completed.");
    }
    catch(OperationCanceledException ex)
    {
        //If something other than our token caused the cancel bubble up the exception.
        if(ex.CancellationToken != token)
            throw;
    }
}


private async Task DownloadMultipleFilesAsync(List<media> doclist, CancellationToken token)
{
    await Task.WhenAll(doclist.Select(doc => DownloadFileAsync(doc, token));
    btn_download.Enabled = true;
}


private async Task DownloadFileAsync(media media, CancellationToken token)
{
    .
    .
    .
    Console.WriteLine(media.no + media_ext + " started.");
    webClient.Credentials = System.Net.CredentialCache.DefaultNetworkCredentials;
    try
    {
        using(token.Register(() => webClient.CancelAsync()))
        {
            await webClient.DownloadFileTaskAsync(new Uri(media.url), @downloadToDirectory);
        }
    }            
    catch (WebException ex)
    {
        //Raise a OperationCanceledException if the request was canceled, otherwise bubble up the exception.
        if(ex.Status == WebExceptionStatus.RequestCanceled)
            throw new OperationCanceledException(token);
        else
            throw;
    }
    Console.WriteLine(media.no + media_ext + " finished.");
    .
    .
    .
}

WebClient не принимает CancelationToken, что странно. Вместо этого у него есть метод CancelAsync вы можете позвонить, чтобы отменить ожидающие вызовы.

Похоже, вам нужно будет сохранить ссылку на свой веб-клиент и вызвать этот метод при нажатии кнопки отмены.