Добавить класс к событию перетаскивания в полном календаре

Да, это можно сделать с помощью eventDragStart. В этом примере codepen я создал класс с именем eventRed и настроил свой eventDragStart следующим образом. .

eventDragStart: function( event, jsEvent, ui, view ) {
    event.className += ' eventRed';
}

Перетаскивание внешнего события не приведет к срабатыванию этого обратного вызова, он будет срабатывать только всякий раз, когда событие перетаскивается из фактического календаря, поэтому перетащите событие в календарь, а затем, когда вы перетащите его оттуда, будет применен класс.