Реализация оператора/итератора инкремента

Вы не реализуете operator++ для класса Node; вы реализуете его для итератора. Класс итератора должен быть отдельным классом.

И, пожалуйста, не портите свой шаблон предположениями (поскольку val — это T, ваш конструктор должен принимать T, а не int). Кроме того, не игнорируйте параметр int оператора ++ вот так: это фиктивный элемент, используемый для отличия реализации до инкремента от реализации после инкремента.

template <typename T>
struct Node {
    T val;
    Node *next;

    Node(const T& t = T()) : val(t) {}
};

template <typename T>
struct node_iter {
    Node<T>* current;
    node_iter(Node<T>* current): current(current) {}

    const node_iter& operator++() { current = current->next; return *this; }
    node_iter operator++(int) {
        node_iter result = *this; ++(*this); return result;
    }
    T& operator*() { return current->val; }
};

int main() {
    // We make an array of nodes, and link them together - no point in
    // dynamic allocation for such a simple example.
    Node<int> nodes[10];
    for (int i = 0; i < 10; ++i) {
        nodes[i] = Node<int>(i);
        nodes[i].next = (i == 9) ? nodes + i + 1 : 0;
    }

    // we supply a pointer to the first element of the array
    node_iter<int> test(nodes);
    // and then iterate:
    while (test.current) {
        cout << *test++ << " ";
    }
    // Exercise: try linking the nodes in reverse order. Therefore, we create 
    // 'test' with a pointer to the last element of the array, rather than 
    // the first. However, we will not need to change the while loop, because
    // of how the operator overload works.

    // Exercise: try writing that last while loop as a for loop. Do not use
    // any information about the number of nodes.
}

До обеспечения надлежащей инкапсуляции данных, управления памятью и т. д. еще очень далеко. Создать правильный класс связанного списка нелегко. Вот почему стандартная библиотека предоставляет один. Не изобретайте велосипед.