Как упростить математическую формулу, максимально сократив ее

Постараюсь быть объективным в вопросе.

У меня есть база данных с миллионами математических формул, созданных приложением, это формулы, которые соответствуют логике:

1) Всего 5 математических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и степень (+ - * / ^)

2) Каждая операция разделена / сгруппирована круглыми скобками.

«Параметры» могут быть простыми, такими как константа или переменная.

Пример: (x + 15)

В сложном случае у меня могут быть:

(x * (x + 15))

Важно помнить, что правильный порядок операций гарантируется при использовании круглых скобок.

Пример:

((x * (x + 15)) / 15)

Моя задача - сократить количество этих формул.

Они бесполезны или часто повторяются, когда операции одинаковы и независимо от порядка факторов.

Пример:

((((x + 4) + 8) - x) / 12)

Это равно 1, это не формула, это константа, и я должен ее игнорировать.

И двойственности вроде ((x + 4) + 8) и ((8 + x) + 4) необходимо устранить.

Вот почему мне нужно уменьшить.

На заметку: все формулы стандартизированы с использованием скобок и пробелов между операциями.

Я создал процедуру на PHP, используя регулярные выражения для подстановки, мне удалось добиться огромного прогресса, сократив конкретную формулу с 8 тысяч вариантов до менее чем трех сотен.

Однако по мере увеличения размера (а не сложности, потому что они не сложные) формул моя рутина перестает быть эффективной.

Мне нужен алгоритм, а не рутина, чтобы применить математическую редукцию, которую мы выучили в школе.

Я думаю, что это возможно, поскольку формулы стандартизированы и ограничены 5 основными математическими операциями.

Я использую класс EvalMath, полученный в GitHub, чтобы помочь в сокращении и выполнении формул.

Чтобы дать вам лучшее представление, формулы являются абстрактными, и каждый символ «@» заменяется в реальном времени константами и переменными.

(@ + @)
(@ / @)
(@ ** @)
((@ + @) + @)
((@ + @) ** @)
((@ - @) + @)
((@ - @) / @)
((@ - @) ** @)
((@ * @) + @)
((@ * @) / @)
((@ * @) ** @)
((@ / @) / @)

Вот фрагмент кода PHP, который является частью моей процедуры сокращения.

Внутри WHILE (TRUE) я сгруппировал правила, которые повторяются до тех пор, пока не будут произведены замены.

В конце концов, у меня есть массив с множеством дубликатов, полученный путем некоторого сокращения и переупорядочения элементов формулы, что решает array_unique ().

Мне очень нужна помощь, мой мозг взрывается от этой проблемы.

Спасибо.

<?php
    $Math_Formulas = array(
        '(((x + 7) ** 9) - 9)',
        '(((x ^ 3) - 9) - 5)',
        '(((2 + x) + x) * x)',
        '(((x + 3) / 6) / 8)',
        '(((x - 5) + 6) ** 2)',
        '(1024 ^ (x / 5))',
        '((3 - (x + 6)) + 3)',
        '(((x ^ 3) + 9) * 6)',
    );

    while (TRUE)
    {
        $changed = FALSE;

        // Rule 1: (x - x) = 0
        for ($i = 0; $i < count($Math_Formulas); $i++)
        {
            $Formula = trim(preg_replace_callback('/([^-]?)([a-z]+?) [-] ([a-z]+?)/', function($matches) {
                $Expression = $matches[0];
                if ($matches[2] == $matches[3])
                {
                    $Expression = $matches[1] . '0';
                }
                return($Expression);
            }, $Math_Formulas[$i]));
            if ($Formula != $Math_Formulas[$i])
            {
                $changed = TRUE;
                $Math_Formulas[$i] = $Formula;
            }
        }

        // Rule 2: ...

        if (!$changed)
        {
            break;
        }
    }

    $Math_Formulas = array_values(array_unique($Math_Formulas));
?>

ОБНОВЛЕНИЕ 1:

Я думаю, что если бы при создании формул использовалась «обратная полировка», все было бы намного проще, но с формулами, которые у меня есть, мне нужно переставить параметры (в возрастающем или убывающем алфавитном порядке), чтобы иметь возможность Сравните их.

В РПН:

(x + 4) + 5) становится "x 4 5 +"

(X + 5) + 4) становится "x 5 4 +"

Как сравнить оба? А как насчет более крупных функций?

Я думаю, что совершил ошибку, не детализировав технику, используемую в 14 «регулярных выражениях», которые я применяю для максимального упрощения этих формул. В этом процессе есть нечто большее, чем просто регулярное выражение:

Исходная формула: (((4-5) + x) + 8)

Шаг 1: Сложение (или вычитание, или умножение) двух к двум константам и сокращение выражения без скобок.

Формула: ((-1 + x) + 8)

Шаг 2: Удалите скобки для ((n + - n) + - n) или (n + - (n + - n)).

Формула: (-1 + x + 8)

Шаг 3. Измените порядок параметров в алфавитном порядке по убыванию.

Формула: (x + 8-1)

Шаг 4: В цикле снова выполняется шаг 1.

Окончательная формула: (x + 7)

Есть больше преобразований, например (x + x + x) становится (3 * x), (-x + x) становится 0.

Все это становилось прекрасным, но когда я наткнулся на такие функции, как ((x * 9) * (x * 5)) / 9), эта логика потеряла эффективность. Мне нужно было бы создать еще как минимум еще 14 вложенных правил.