Использование содержит с функцией InvariantCultureIgnoreCase С#

Согласно документации здесь вместо этого вы должны использовать string.IndexOf(string, StringComparison).

Итак, в основном это:

    var entries = new 
    {
      PhonebookList = new[]
      {
        new { ItemNumber = 1, FirstName = "Leonard", LastName = "Hofstadter" }, 
        new { ItemNumber = 2, FirstName = "Sheldon", LastName = "Cooper" }, 
        new { ItemNumber = 3, FirstName = "Howard", LastName = "Wolowitz" }, 
        new { ItemNumber = 4, FirstName = "Sheng", LastName = "?" }, 
      }
    };
    
    var fName = "she";
    foreach (var item in entries.PhonebookList.Where(ab => ab.FirstName.IndexOf(fName, StringComparison.InvariantCultureIgnoreCase) >= 0))
    {
        Console.WriteLine("Record: {0} {1} {2}", item.ItemNumber, item.FirstName, item.LastName);
    }

Что возвращает:

Рекорд: 2 Шелдон Купер

Запись: 4 Шэн ?

Если вам часто нужен Contains с другим StringComparison, документация также предоставляет метод расширения, который вы можете реализовать, чтобы использовать его как Contains (см. данный пример в предоставленной ссылке).

Вы должны использовать метод String.IndexOf вместо Contains. Если вас интересует положение значения подстроки в текущем экземпляре, вы можете вызвать метод IndexOf, чтобы получить начальную позицию его первого вхождения, или вы можете вызвать метод LastIndexOf, чтобы получить начальную позицию его последнего вхождения. Метод IndexOf(String) используется, если подстрока найдена в экземпляре строки. Также вы можете использовать другие перегрузки String.IndexOf в зависимости от ваших целей, например, с аргументами String и StringComparison.