Лучший дизайн для постоянно меняющегося свойства в классе Singleton с использованием IoC?

Как правило, хороший дизайн предлагает делать классы helper\manipulator\operation без состояния. Здесь у вас явно есть вспомогательный класс с состоянием, поскольку вы можете установить состояние объекта через свойство _variableHandler (не реальное свойство, это больше похоже на поле).

Что вы можете сделать, так это заставить factory для IVariableHandler зарегистрировать это в IoC и внедрить его в XAMLHelper. Затем при вызове помощника вы просто указываете, какой обработчик использовать, и заново создаете его с помощью factory. Фабрика может быть немного умнее, чтобы повторно использовать уже созданный объект, используя какое-то кэширование.

public intefrace IVariableHandlerFactory
{
    IVariableHandler Get(string description);
}

public class VariableHandlerFactory : IVariableHandlerFactory
{
    private readonly IDictionary<string, IVariableHandler> _cache;

    public VariableHandlerFactory()
    {
        _cache = new Dictionary<string, IVariableHandler>();
    }

    public IVariableHandler Get(string description)
    {
        IVariableHandler handler; 

        if(_cache.TryGetValue(description, out handler))
        {
            return handler;         
        }

        handler = //create it...
        _cache[description] = handler;

        return handler;
    }
}

а затем используйте это в XAMLHelper

public class XAMLHelper
{
    private readonly IVariableHandlerFactory _factory;

    public XAMLHelper(IVariableHandlerFactory factory)
    {
        _factory = factory;
    }

    public void HelpMe(string description)
    {
        var handler = _factory.Get(description);

        //do actual work using handler
    }
}

Давайте отложим это в сторону и обсудим настоящую проблему здесь. Во-первых, вам не хватает аннотации вашей собственности:

[Dependency]
public IVariableTypeHandler VariableHandler { get; set; }

тогда вы можете зарегистрировать XAMLHelper, используя InjectionProperty

container.RegisterType<VariableTypeHandlerImpl, IVariableTypeHandler>();

using(var lifetime = new ContainerControlledLifetimeManager())
    container.RegisterType<XAMLHelper>(lifetime, new InjectionProperty("VariableHandler");

или, если у вас есть конкретный экземпляр IVariableTypeHandler, вы можете использовать:

var variableHandler = VariableHandlerFactory.GetInstance("Str");

using(var lifetime = new ContainerControlledLifetimeManager())
    container.RegisterType<XAMLHelper>(lifetime, new InjectionProperty("VariableHandler", variableHandler);