Я работаю над алгоритмом интеллектуального анализа данных, в котором я хочу выбрать случайное направление из определенной точки в пространстве функций.
Если я выберу случайное число для каждого из n измерений из [-1,1], а затем нормализую вектор до длины 1, получу ли я равномерное распределение по всем возможным направлениям?
Я говорю здесь только теоретически, поскольку случайные числа, сгенерированные компьютером, на самом деле не случайны.
Один простой трюк - выбрать каждое измерение из гауссовского распределения, а затем нормализовать:
from random import gauss
def make_rand_vector(dims):
vec = [gauss(0, 1) for i in range(dims)]
mag = sum(x**2 for x in vec) ** .5
return [x/mag for x in vec]
Например, если вам нужен 7-мерный случайный вектор, выберите 7 случайных значений (из распределения Гаусса со средним 0 и стандартным отклонением 1). Затем вычислите величину результирующего вектора, используя формулу Пифагора (возведите каждое значение в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень из результата). Наконец, разделите каждое значение на величину, чтобы получить нормализованный случайный вектор.
Если у вас большое количество измерений, то у этого есть сильное преимущество - всегда работать немедленно, а генерация случайных векторов до тех пор, пока вы не найдете тот, который имеет величину меньше единицы, приведет к тому, что ваш компьютер просто зависнет в более чем дюжине измерений или около того, потому что вероятность того, что любой из них будет квалифицирован, становится исчезающе мала.
numpy это будет vec = numpy.random.randn(dims); return vec / numpy.linalg.norm(vec)
- person stav; 17.06.2017
Вы не получите равномерно распределенный ансамбль углов с помощью описанного вами алгоритма. Углы будут смещены в сторону углов вашего n-мерного гиперкуба.
Это можно исправить, удалив все точки, находящиеся на расстоянии больше 1 от начала координат. Тогда вы имеете дело со сферическим, а не кубическим (n-мерным) объемом, и ваш набор углов должен быть равномерно распределен по пространству образца.
Псевдокод:
Пусть n - количество измерений, K - желаемое количество векторов:
vec_count=0
while vec_count < K
generate n uniformly distributed values a[0..n-1] over [-1, 1]
r_squared = sum over i=0,n-1 of a[i]^2
if 0 < r_squared <= 1.0
b[i] = a[i]/sqrt(r_squared) ; normalize to length of 1
add vector b[0..n-1] to output list
vec_count = vec_count + 1
else
reject this sample
end while
У меня был точно такой же вопрос при разработке алгоритма машинного обучения.
Я пришел к тому же выводу, что и Джим Льюис, нарисовав образцы для двумерного случая и построив результирующее распределение угла.
Кроме того, если вы попытаетесь получить распределение плотности для направления в 2d, когда вы будете рисовать случайным образом из [-1,1] для осей x и y, вы увидите, что:
f_X(x) = 1/(4*cos²(x)), если 0 ‹x‹ 45⁰
и f_X(x) = 1/(4*sin²(x)), если x> 45⁰
где x - угол, а f_X - распределение плотности вероятности.
Я написал об этом здесь: https://aerodatablog.wordpress.com/2018/01/14/random-hyperplanes/
Существует ускоренная реализация алгоритма, который выбирает образцы из нормальных распределений: random :: uniform_on_sphere
