Получите первую и последнюю видимую дату полного календаря без использования средства выбора даты

Используя версию 5.5.1, вы можете проверять рендеринг HTML. Дневные ячейки имеют класс fc-daygrid-day и data-date="{date}"

Учитывая, что исходный идентификатор div - это календарь, который вы можете использовать:

var cells = $("#calendar td.fc-daygrid-day");
console.log(cells.length, cells.first().data("date"), cells.last().data("date"))

Пример фрагмента:

$(function() { 
  var calendarEl = document.getElementById('calendar');
  var calendar = new FullCalendar.Calendar(calendarEl, {
    initialView: 'dayGridMonth'
  });
  calendar.render();
  
  var cells = $("#calendar td.fc-daygrid-day");
  console.log(cells.length, cells.first().data("date"), cells.last().data("date"))
});

<script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.3.1/jquery.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/main.min.js"></script>
<link rel="stylesheet" href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/main.css">

<div id='calendar'></div>

Можно ли получить первую дату первой недели и последнюю дату последней недели полного календаря

... да легко - в последней версии (v5 на момент написания) вы можете просто запросить текущее представление, и оно имеет свойства, содержащие эти даты.

Тем не менее, вы также сказали, что это

чтобы мы могли добавить извлеченные даты в базу данных и получить все события в этом диапазоне дат.

У вас нет причин делать это вручную, если это ваша цель. FullCalendar уже предоставляет способы указания источника ваших событий — вы можете просто указать его по URL-адресу, который возвращает JSON в формате событий fullCalendar, или, если вам нужна большая гибкость, вы можете определить обратный вызов function, где вы можете использовать собственный код для получения событий из их источника.

Ключевым моментом в обоих этих подходах является то, что fullcalendar автоматически

• вызывает URL/запускает функцию каждый раз, когда диапазон дат изменяется в календаре, и

• предоставляет вам даты начала и окончания нового диапазона дат, чтобы ваш сервер мог фильтровать возвращаемые им события, чтобы они попадали только в этот диапазон.

Вам не нужно тратить время на попытки вручную извлечь диапазоны дат из календаря или передать события другими способами.