Рисование кривых решения дифференциальных уравнений

Я сделаю вид, что первое не может быть решено аналитически, чтобы показать, как можно играть с общим ОДУ в математике.

Определять

p1[n0_, a_, b_, uplim_: 10] :=(n /. First@NDSolve[
      {n'[t] == b*n[t]^2 - a*n[t], n[0] == n0},n, {t, 0, uplim}]

который возвращает решение ОДУ, т. е. a = p1[.1, 2., 3.], а затем, например. a[.3] говорит вам n(.3). Затем можно сделать что-то вроде

Show[Table[ans = p1[n0, 1, 1];
 Plot[ans[t], {t, 0, 10}, PlotRange \[Rule] Full],
 {n0, 0, 1, .05}], PlotRange \[Rule] {{0, 5}, {0, 1}}]

который отображает несколько решений с разными начальными значениями:

или, чтобы получить некоторое представление о решениях, можно интерактивно управлять значениями a, b и n0:

Manipulate[
 ans = p1[n0, a, b];
 Plot[ans[t], {t, 0, 10},PlotRange -> {0, 1}],
 {{n0, .1}, 0, 1},
 {{a, 1}, 0, 2},
 {{b, 1}, 0, 2}]

который дает что-то вроде

с активными элементами управления (т. е. вы перемещаете их, и сюжет меняется; попробуйте вживую, чтобы увидеть, что я имею в виду; обратите внимание, что вы можете установить параметры, для которых начальные условия дают расходящиеся решения).

Конечно, это можно сделать произвольно более сложным. Кроме того, в этом конкретном случае это ОДУ достаточно легко интегрировать аналитически, но этот численный подход может быть применен к общим ОДУ (и ко многим УЧП тоже).

В дополнение к нескольким хорошим ответам, если вам просто нужен быстрый набросок решений ODE для многих начальных значений, для руководства вы всегда можете сделать однострочный StreamPlot. Предположим, a==1 и b==1, и dy/dx == x^2 - x.

StreamPlot[{1, x^2 - x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

StreamStyle -> "Line" даст вам только линии, без стрелок.

В Mathematica вы используете NDSolve (если только его нельзя решить аналитически, в этом случае вы используете DSolve. Итак, для вашего первого уравнения я попробовал:

b = 1.1; a = 2;
s = NDSolve[{n'[t] == b n[t]^2 - a n[t], n[0] == 1}, n, {t, 0, 10}];
Plot[Evaluate[n[t] /. s], {t, 1, 10}, PlotRange -> All]

Я не знал, что использовать для a, b или N0, но получил такой результат:

Если вам нравится решать уравнения численно, в MATLAB есть набор решателей ОДУ, которые могут оказаться полезными. Ознакомьтесь с документацией по функции ode45 здесь.

Общий подход состоит в том, чтобы определить «функцию оды», которая описывает правую часть дифференциальных уравнений. Затем вы передаете эту функцию вместе с начальными условиями и диапазоном интегрирования ode решателям.

Одной из привлекательных особенностей этого типа подхода является то, что он прямо распространяется на сложные системы связанных ОДУ.

Надеюсь это поможет.