Введение

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — это математическая функция, которая выполняет операцию разложения сигнала, представленного в цифровой форме, например записанного в цифровом виде звука, на его спектр: набор скаляров на наборе синусоидальных компонентов.

Точнее, ДПФ принимает форму волны (цифровой дискретизированный сигнал) в качестве входных данных и создает набор коэффициентов, которые можно использовать для масштабирования набора синусоидальных волн, равномерно распределенных между 0 Гц и частотой дискретизации f, Гц. Если масштабированные функции складываются вместе, восстанавливается исходная форма сигнала. Например, на рисунке ниже: если мы добавим все сеноиды синего цвета, мы получим функцию, представленную красным цветом.

Прежде чем мы продолжим объяснение ДПФ, давайте вспомним математические основы, которые помогут нам понять его.

Комплексные числа

Комплексное число z определяется как сумма действительной и мнимой частей. Тогда z можно представить как x + jy, где x и y — вещественные числа. Мы также иногда используем обозначения Re{z} = x("действительная часть z равна x") и Im{z} = y("мнимая часть z равна у»). Мы можем изобразить комплексные числа на плоскости (называемой комплексной плоскостью) в виде упорядоченных пар (x, y).

Мы также можем выразить комплексные числа через полярные координаты в виде упорядоченной пары (R, θ), где R = |z| — величина z, а θ= ∠ z — угол z. Используя простую тригонометрию, мы можем преобразовать прямоугольные координаты (x, y) в полярные координаты (R, θ) и наоборот.

Обратите внимание, что z = x + jy — это алгебраическое представление z в терминах его прямоугольных координат. Аналогично, существует алгебраическое представление z в терминах полярных координат:

Таким образом, любое комплексное число можно разложить на косинусоидальную и синусоидальную составляющие. Другое представление z существует в терминах полярных координат. Для его определения необходимо ввести тождество Эйлера (доказательство):

С тождеством Эйлера мы получаем альтернативное алгебраическое представление z в терминах полярных координат:

Это представление значительно упрощает математику ДПФ, поскольку вместо сложных тригонометрических тождеств теперь можно использовать простые правила показателей.

Комплексное число, умноженное на сопряженное, равно квадрату его величины:

Или в полярных координатах:

Во второй части мы будем изучать сложные синусоиды. До встречи.