Эмпирическая модовая декомпозиция (EMD) — это метод обработки сигналов, который разлагает сигнал на лежащие в его основе колебательные компоненты, называемые внутренними модовыми функциями (IMF). Это управляемый данными метод, который не требует предварительного знания частотного содержания сигнала или характеристик лежащих в его основе колебаний.

Алгоритм EMD включает в себя разложение сигнала на серию IMF, которые получаются с помощью процесса, называемого просеиванием. Отсеивание включает в себя идентификацию локальных экстремумов сигнала и подгонку огибающей к этим экстремумам. Затем вычисляется разница между сигналом и его огибающей, и процесс повторяется с разницей до тех пор, пока не будет получена локально гладкая IMF.

Результирующие IMF представляют различные масштабы колебаний в сигнале, причем первый IMF захватывает колебания с самой высокой частотой, а последний IMF захватывает колебания с самой низкой частотой. Окончательный остаточный сигнал, полученный после извлечения всех IMF, представляет тренд исходного сигнала.

EMD использовался в различных приложениях, включая шумоподавление сигналов, извлечение признаков и анализ тенденций. Он особенно эффективен при анализе нестационарных сигналов, когда частотный состав сигнала изменяется во времени.

Преобразование Гильберта-Хуанга (HHT)

Преобразование Гильберта-Хуанга (HHT) — это метод обработки сигналов, который используется для анализа нестационарных и нелинейных данных временных рядов. Он был разработан Норденом Э. Хуангом в конце 1990-х годов как альтернатива традиционным методам обработки сигналов на основе Фурье.

HHT состоит из двух основных компонентов: разложения по эмпирическим модам (EMD) и гильбертова спектрального анализа (HSA). EMD — это метод разложения сигнала на конечный набор внутренних функций режима (IMF), которые представляют собой компоненты сигнала с четко определенным частотным диапазоном и получаются в процессе просеивания и усреднения. HSA включает применение преобразования Гильберта к каждому из IMF для получения мгновенной частоты и амплитуды сигнала.

HHT использовался в широком спектре приложений, в том числе для анализа биологических сигналов, финансовых временных рядов и климатических данных. Это особенно полезно для анализа данных с нелинейными и нестационарными характеристиками, например, в случае сигналов с быстро меняющимися частотными компонентами или сигналами с резкими изменениями амплитуды.

Разложение по эмпирическим модам (EMD)

Различные этапы алгоритма декомпозиции эмпирических мод (EMD) в том порядке, в котором они обычно применяются:

  1. Процесс просеивания.Процесс просеивания является ядром алгоритма EMD, где мы извлекаем каждую функцию внутреннего режима (IMF) из сигнала. В этом процессе мы идентифицируем все локальные максимумы и минимумы сигнала и соединяем их, чтобы сформировать верхнюю и нижнюю огибающие соответственно. Затем мы получаем среднее значение двух конвертов как локальное среднее. Мы вычитаем это локальное среднее из исходного сигнала, чтобы получить колебательный компонент, называемый IMF.
  2. Критерий остановки. После каждого процесса просеивания мы проверяем, удовлетворяет ли полученный IMF «критерию остановки». Этот критерий выполняется, когда ММП имеет не более двух экстремумов одного знака, что свидетельствует о наличии в ММП одной колебательной моды. Если критерий не выполняется, мы повторяем процесс просеивания до тех пор, пока критерий не будет удовлетворен.
  3. Остаточный компонент: после того, как мы извлекли все IMF, остаточный компонент получается путем вычитания суммы всех IMF из исходного сигнала. Остаточная составляющая представляет тренд сигнала.
  4. Повторение шагов 1–3.Шаги 1–3 итеративно повторяются для остаточного компонента, пока мы не получим окончательный набор IMF и остаточного компонента, удовлетворяющего критерию остановки.
  5. Постобработка. После того, как мы получили IMF и остаточные компоненты, мы можем выполнить постобработку, чтобы улучшить качество результатов. Это может включать сглаживание IMF или остаточного компонента, а также удаление любых артефактов или шума.

Обратите внимание, что точная реализация алгоритма EMD может варьироваться в зависимости от конкретного приложения и используемого алгоритма. Однако эти шаги дают общее представление о процессе EMD.

Примеры

Рассмотрим следующие сигналы для выбранного объекта из наборов данных, цель которых состоит в том, чтобы найти экстремальные минимумы и максимумы исходных сигналов.

Давайте увеличим масштаб первых 100 индексов и сделаем IMF и выборки в этом диапазоне.

Следовательно, в дальнейшем мы строим IMF (увеличенный в диапазоне от 1 до 100 индексов) с верхним и нижним значениями сигналов, а также со средним значением.

И различные IMF для выбранного года и масштабированные [1, 100] следующим образом

Таким образом, у нас будут конверты для упомянутого фрагмента сигналов

частота дискретизации

Частота дискретизации (fs) — это количество выборок сигнала, которые снимаются в единицу времени. Обычно он измеряется в герцах (Гц), что представляет собой количество выборок в секунду. При цифровой обработке сигналов частота дискретизации определяется скоростью, с которой сигнал дискретизируется или оцифровывается.

Например, если у вас есть непрерывный аналоговый сигнал, который вы хотите дискретизировать и оцифровать, вам нужно будет выбрать частоту дискретизации, достаточно высокую для точного захвата частотного содержания сигнала. Теорема Найквиста утверждает, что частота дискретизации должна быть как минимум в два раза больше максимальной частоты сигнала, чтобы избежать наложения спектров.

Вот пример того, как определить частоту дискретизации для конкретного сигнала. Допустим, у вас есть аналоговый сигнал с максимальной частотной составляющей 1000 Гц. Для точного захвата этого сигнала вам необходимо выбрать частоту дискретизации, которая как минимум в два раза превышает максимальную частоту, которая в данном случае составляет 2000 Гц. Обычный выбор частоты дискретизации — 44 100 Гц, частота дискретизации, используемая для звука CD-качества.

В Python вы можете использовать библиотеку scipy.signal для передискретизации сигнала до определенной частоты дискретизации.

Частота

Алгоритм эмпирической модовой декомпозиции (EMD) разлагает сигнал на внутренние функции мод (IMF), которые должны захватывать различные частотные компоненты сигнала. В EMD нет априорного выбора частоты, и частотный состав каждого IMF определяется самими данными.

После разложения сигнала на его IMF с использованием алгоритма EMD мы можем вычислить частотный состав каждой IMF, выполнив преобразование Гильберта для каждой IMF. Преобразование Гильберта обеспечивает мгновенную частоту и фазу сигнала в каждый момент времени. Эта информация может использоваться для идентификации и анализа частотных составляющих сигнала.

Чтобы использовать библиотеку EMD в Python для вычисления частотного содержания сигнала:

from scipy.signal import hilbert
from scipy import signal

freqs = []
phases = []
for i in imf:
    analytic_signal = hilbert(i)
    freq = np.diff(np.unwrap(np.angle(analytic_signal)))/(2*np.pi)*fs
    freqs.append(freq)
    phase = np.angle(analytic_signal)
    phases.append(phase)
print(len(freqs))

А здесь вы можете увидеть пример извлеченных частот;

измерить количество сигналов

В EMD количество внутренних функций режима (IMF), которые извлекаются во время разложения сигнала, не является фиксированным и может варьироваться в зависимости от сигнала. Однако некоторые методы можно использовать для оценки количества IMF для данного сигнала.

Одним из распространенных методов является использование «критерия остановки просеивания», который основан на том факте, что каждый IMF должен иметь четко определенный характерный масштаб или частотный диапазон. Процесс отсеивания продолжается до тех пор, пока амплитуда остатка не станет меньше определенного порога по отношению к амплитуде входного сигнала или пока количество экстремумов и переходов через нуль в остатке перестанет удовлетворять требованиям к IMF.

Другой метод заключается в использовании критерия сходимости, основанного на сходимости преобразования Гильберта. Критерий сходимости измеряет разницу между мгновенной частотой последовательных IMF и останавливает разложение, когда разница падает ниже определенного порога.

Существуют также некоторые эмпирические правила для оценки количества IMF, такие как «двухточечный критерий», который утверждает, что количество IMF равно количеству пересечений нуля первой производной сигнала минус один.

Однако важно иметь в виду, что количество IMF не всегда четко определено или уникально и может зависеть от конкретного используемого алгоритма EMD, выбора критерия остановки и характеристик разлагаемого сигнала. Часто бывает необходимо поэкспериментировать с различными параметрами разложения и визуально проверить полученные IMF, чтобы определить подходящее число для данного сигнала.

изменения в сигнале

Чтобы определить, являются ли изменения сигнала ежедневными или нет, вы можете выполнить частотно-временной анализ, используя такой метод, как непрерывное вейвлет-преобразование (CWT) или кратковременное преобразование Фурье (STFT). Эти методы могут помочь вам идентифицировать любые повторяющиеся закономерности или колебания сигнала, которые происходят в дневной шкале времени.

Например, вы можете использовать CWT, чтобы разложить сигнал на частотно-временные составляющие и визуализировать спектр мощности с помощью спектрограммы. Спектрограмма может показать вам, как мощность различных частотных составляющих изменяется с течением времени. Если вы видите заметные пики или полосы на спектрограмме на частотах, соответствующих суточным ритмам, например, 24-часовым циклам, то вполне вероятно, что изменения сигнала происходят ежедневно.

Заключение

Мы обсудили различные концепции, связанные с обработкой и анализом сигналов, включая преобразование Гильберта-Хуанга (HHT), эмпирическую модовую декомпозицию (EMD) и частотный анализ с использованием таких методов, как непрерывное вейвлет-преобразование (CWT).

HHT — это метод обработки сигналов, который можно использовать для извлечения функций внутреннего режима (IMF) из сигнала, который затем можно дополнительно проанализировать для извлечения соответствующей информации или характеристик. EMD — это особый метод выполнения HHT, который включает в себя итеративное разложение сигнала на IMF на основе локальных экстремумов и пересечений нуля сигналом.

Частотный анализ — это мощный инструмент для понимания характеристик сигнала и выявления повторяющихся закономерностей или колебаний. CWT — это распространенный метод частотно-временного анализа сигналов, который может помочь выявить любые ежедневные или периодические изменения в сигнале.

В целом, эти методы широко используются в различных областях, таких как биомедицинская обработка сигналов, финансы и обработка изображений, и могут быть применены к широкому кругу задач обработки сигналов. Однако важно тщательно выбирать подходящие методы и параметры для данного приложения и тщательно интерпретировать результаты в контексте конкретной решаемой задачи.